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量纲（Dimension）表示一个物理量由基本量组成的情况。确定若干个基本量后，每个导出量都可以表示为基本量的幂的乘积的形式。引入量纲这一概念可以进行量纲分析，这既是物理学的基础，又有着很多重要应用。–摘自wiki

前段时间物理竞赛实验培训中有一个实验涉及到光栅常数及相关的计算，公式给出：

d sinθ = k λ

黑板上写的光栅常数 d 是 300 条/mm ，一开始没有注意，后来用分光仪测完数据一带入公式就发现错得离谱了。自然，黑板上写的300 条/mm 是不能直接带入公式的。国际单位制中长度要用 m ？当然用其他的也可以，但需要注意换算。这里问题在于等号两边单位不统一。如果公式中取 d  为 300 条/mm ，那么等号右边k没有单位, λ 是波长，单位怎么可能是 /mm  (也就是每毫米）呢？自然，d应该取1/300,这样算出来的波长才是mm.

没错，等号左边是什么单位，右边也应该是什么单位，这基本上可以说是一个“常识”。这其实也就是量纲分析的范畴了。

那么，简单说一下量纲和单位的区别吧。时间的单位可以有很多，比如秒，分钟，小时，实际处理问题中取合适的单位也是常识吧—当然，你也可以试试使用飞秒（千万亿分之一秒）计算一节课的时间，that’s alright，因为你得出的结果的量纲仍然是“时间”。再比如，1牛顿可以写作1千克米每二次方秒，但一般没人会这么写，麻烦而其容易混淆。回想一下我们熟知的物理量，从每天用的长度、时间、速度、质量，到温度、电流……其他的单位均可以通过这些最基本的量导出。

规定七个基本物理量，在量纲中分别用七个字母表示它们的量纲，他们是：长度（L），质量（M），时间（T），电流（I），温度（Θ），物质的量（N），发光强度（J）.

则对于任意一个物理量A，都可以写出下列量纲式：

等号左边也可以表示为 [A].

上式右边称为物理量A的量纲。其中，αβγ……称为量纲指数。在表示时，七个量纲不一定会全部用上。量纲指数为1的可以省略指数，指数为0的可以省略对应量纲；然而，当所有量纲指数皆为0时（称为无量纲），要将量纲记为“1” –摘自wiki

举个例子，在万有引力公式中，引力常数G是就有量纲的，根据量纲齐次性（也就是等号两边量纲相同），G的量纲为M^-1L^3T^-2。

自然，量纲分析的一大应用就是检查运算中的错误。比如，我们如果得出一个力F=m^2g，就明显错了。再比如，我们如果计算出sinθ=mg/(kx^2)  （这里的k是胡克定律中弹簧的劲度系数），也一定是哪里漏了或多了，因为等号右边的量纲是 L-1，而左边的三角函数是没有量纲（或者量纲为1）的。

根据量纲的一致性，只有量纲相同的物理量才能进行相加、相减、相等。对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减。在很多问题用量纲检查错误中很方便可靠。当然，具体的数值计算正确也一样重要。

量纲可以帮助我们推测公式（或者说记忆公式—实际上物理公式基本不用硬背的）。

弹簧的振动周期T的公式是什么？我们估计，该公式和弹簧的劲度系数k有关，当然弹簧上的物体质量也可能对T有影响。k的量纲：M T-2 ，m的量纲：M ，T的量纲自然是T，我们设

T=(M T^-2)^ γ * (M)^ β

容易得到：

γ+β=0

-2γ=1

于是我们可以解得γ=-1/2，β=1/2，振动周期公式就是T=一个常数  乘以根号下(m/k).而这个常数可以通过很多方法得到，比如理论推导，可以得出是2π。而对于一些复杂的物理现象，理论不容易得出公式，就常采用实验的方法确定。

 

基态氢原子半径为0.0529nm(波尔半径)，若用带与电子相同电荷、但质量为电子质量207倍的μ子代替轨道电子，这个“μ—氢原子”的半径是多少？假设质子质量比μ子、电子质量大的多。

首先看到这道题，也许大家会想到用波尔的轨道量子化理论推导原子半径的表达式。但是……万一你忘了怎么办？

我们知道，波尔理论中轨道半径a与h、ε0（ε0=1/（4πk））、轨道电子质量m、原子核带电量qH、电子电量qe有关。设a=k * h^α* m^β * qH^γ1  *  qe^γ2 * ε0^δ.

其中 m：[M] ;  q:[I][T]  ;  ε0:[M]^-1 * [L]^-3 *[T]^4 [I]^2 ;   h:[M][L]^2[T]^-1 ;  a: [L].

（q是电量，[I]是电流的量纲）

于是有

[L]=[M]^ (α+β-γ )* [L]^(2α-3δ )* [T]^ (γ1+γ2+4δ-α) *[I]^( γ1+γ2+2δ)

让

2α-3δ=1

其他各量纲指数为0.也就是等号右边的量纲为[L]的一次方.

我们可以解出

α=2  β=-1 δ=1 γ1+γ2=-2

注意，质量m的量纲指数为-1！也就是说，半径正比与质量m的-1次方！

所求

aμ=0.0529/207 nm=0.256 pm .

量纲真正神奇的地方并不在这种小伎俩上，你可以去查查“量纲分析”的相关条目，看看“白金汉π 定理”是什么（当然，暂时对我们用处不太大）。